人體血液模擬循環系統（MCS）的目標是重現心血管血流動力學的特性。Westerhof 阻力器在 MCS 中擔任層流液阻器的角色，用來模擬心血管系統的外周阻力。Westerhof 阻力器的理論計算結果較實際的液阻值有較大的誤差，如果將理論公式計算的液阻值當作實際的液阻值，那么精確度明顯達不到設計目標和性能要求。為了減少阻力器液阻值理論計算結果與實際值之間的誤差，本文提供了一種有效的 Westerhof 阻力器計算阻值的校正方法，并且開發了仿真模擬軟件。仿真軟件可以較為準確地預測毛細管數量、總長度、液阻值，降低和簡化了設計阻力器的難度和復雜度，使得 Westerhof 阻力器制作更為精準，為各種循環模擬系統的構建提供了支持。
引用本文： 楊云姝, 鄒遠文. Westerhof 阻力器計算阻值的一種校正方法. 生物醫學工程學雜志, 2017, 34(4): 627-631. doi: 10.7507/1001-5515.201703020 復制
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引言
在 20 世紀 60 年代到 20 世紀 70 年代之間，人體血液模擬循環系統（mock circulatory system，MCS）隨著全人工心臟的研究而發展起來。在人工心臟、人工心臟瓣膜等心血管假體投入臨床應用之前，需要進行大量的體內和體外實驗[1-2]。體外實驗使用 MCS 進行測試實驗，體內實驗包括動物實驗和臨床試驗[3-4]。先進行體外實驗是必不可少的[5]，除了倫理學的原因之外，MCS 可以控制并提供多種實驗條件，節省財力物力人力，具有簡單可重復的特點，是進行體內實驗的前提[6-7]。除上述用途外，MCS 還經常被用于研究心血管動力學問題[8]。
MCS 的目標是重現心血管血流動力學的特性。MCS 由很多部件組成，不同的部件具有不同的功能。由于血液有黏性，在血管中流動時，將會受到一定的阻力。在體循環中，阻力主要來自于小動脈和毛細血管。通常稱血液在小動脈與毛細血管中流動所遇到的阻力為外周阻力，并且認為血液在小動脈與毛細血管中的流動是層流流動[9]。為了能夠有效地重現血液流動所受到的外周阻力并且產生層流流動，1971 年 Westerhof 阻力器被 Wes-terhof 等[10]第一次應用在 MCS 中。由于它可以將流體從湍流狀態調整至層流狀態[11]，因此被廣泛應用[12-14]。如圖 1 所示是 Westerhof 阻力器的其中一種制作方式，將一定數量的毛細管束在管套中[15-16]。在實際使用過程中，可在 Westerhof 阻力器前端添加可調閘閥式阻力器，既保證了對流型的改變，也使得外周阻力可調[17]。
圖1
Westerhof 阻力器
Figure1.
Westerhof ’s resistor
Westerhof 阻力器的參數最終決定了其性能。在采用理論計算時，得出的結果與實際的參數往往有比較大的誤差[10]。制作阻力器，需要事先確定組件尺寸。如果只用理論公式推算 Westerhof 阻力器的液阻值，那么精確度明顯達不到設計目標和性能要求。為了減少阻力器阻值的理論值與實際值之間的誤差，本文首先提出了毛細管數量的理論計算方法，搭建了阻力值實測平臺，并且為了覆蓋人體模擬循環裝置使用時的范圍要求，制作了多個不同規格的 Westerhof 阻力器樣本，得到補償系數，用來對理論計算值做出修正。在理論計算的基礎上，結合上述試驗的結果，文章開發了仿真模擬軟件，用來預測毛細管數量、總長度、液阻值等參數。
1 Westerhof 阻力器參數的理論計算方法
1.1 Westerhof 阻力器液阻的理論計算
Westerhof 用泊肅葉方程計算 Westerhof 的液阻值[10]，如公式（1）所示。
 |
在公式中，R 表示液阻值，ΔP 表示阻力器兩端的壓強差，Q 表示體積流量，ΔP/Q 可以得到實際液阻值。μ 表示管中液體的粘度系數，l 為管的長度，r 為毛細管的內徑，8 μl/π
用來計算理論液阻值。
所有的毛細管并行排列，相當于并聯，因此整體理論阻力值為[10, 15-16]：
 |
N 表示毛細管數量。由于制作阻力器的材料、構成方式、毛細管數量誤差、毛細管間隙以及毛細管直徑偏差等原因，根據 Westerhof 阻力器的毛細管內徑等參數進行理論計算得出的結果與實際的液阻值有比較大的誤差[10]，所以需要對計算出的阻力值進行修正，KR 表示修正系數，由 2.2 節樣本測試實驗獲得。
1.2 Westerhof 阻力器毛細管數量及用量計算
制作 Westerhof 阻力器時，當選定毛細管規格、阻力器（套筒）內徑后，需準備足夠長度的毛細管，但簡單的長度預估會造成備料不足或過量。本文根據毛細管在套筒中的排列形式，計算出毛細管數量及總長度，提高用料的使用效率和制作的成功率。
毛細管在圓筒里的排列方式有很多種，根據已制作的 Westerhof 阻力器內毛細管排列形式為參照，本文采用蜂窩狀排列，如圖 2 所示，推導出毛細管數量及總長度。
圖2
毛細管的排列方式
Figure2.
Arrangement of capillary
如圖 2 所示，毛細管沿外圓周向內擴展，設套筒內徑為 R，毛細管外徑為 r，則第一層毛細管數量 N1 的計算公式為：
 |
同理，繼續沿（R–2r）內側排列毛細管，則第二層毛細管數量 N2 的計算公式為：
 |
如此一層一層排列下去，最多緊密排列 n=R/2r 層，毛細管總數 N 的計算公式為：
 |
式中
表示向下取整。由于實際毛細管數量與理論推導之間有誤差，需要對結果進行修正，本文則根據實際毛細管數量對理論值進行修正，補償系數 KN 由 2.2 節樣本測試實驗獲得。
2 Westerhof 阻力器阻值測量平臺和樣本測試實驗
2.1 Westerhof 阻力器阻值測量平臺
在測量平臺上實測 Westerhof 阻力值，可比較與其理論計算結果的誤差，并作為模擬仿真軟件修正的參數。測試平臺由硬件（見圖 3）和軟件構成。為了得到實際阻力值，根據公式（1），需要獲得 Q 和 ΔP。如圖 3 中的實驗平臺示意圖所示，流量 Q 由蠕動泵設置輸出，精度±1%。壓差 ΔP 由 Westerhof 阻力器前后兩端壓力傳感器獲得。由于實驗需要定常流，用液容將蠕動泵泵出的液體進行濾波，液容可以模擬血管的順應性，將蠕動泵輸出的脈動流變成恒流再進入 Westerhof 阻力器，降低了阻力器測試端的壓力波動。壓力傳感器信號經放大后傳遞給 A/D 卡，計算機可顯示和存儲壓力值。
圖3
阻值測量實驗平臺
Figure3.
Experimental platform for measuring resistance
蠕動泵泵體型號：07551-20，泵頭型號：77202-60，泵管型號：L/S25，流速范圍 0～4 000 mL/min（雙泵頭、雙泵管情況下）。壓力傳感器型號：ZXP610 壓阻式傳感器，量程 10 kPa，標定后誤差為±0.1% F.S.。A/D 卡型號為 Advantech USB-4704（14 bit，48 kS/s）。計算機壓力測量軟件用 Visual Studio 2010 開發。
2.2 樣本測試實驗
在確定 Westerhof 阻力器樣本時需要考慮以下幾個方面：① 制作材料的限制（本次實驗使用的毛細管和套筒材料均為不銹鋼）：可獲得的毛細管內外徑種類。② Westerhof 阻力器使用方式：主要用于 MCS，其管徑和阻力值應當適應于模擬循環裝置的使用。比如，通常采用 Westerhof 阻力器加閘門式阻力器模擬外周阻力，保證主動脈中流動的層流特征和系統阻抗的相似性，使主動脈中的流量和壓力波形更接近生理狀態。③ 應覆蓋人體模擬循環裝置使用時的范圍要求：能適應主動脈、動脈分支對管徑和阻力的要求。根據以上要求，設計并制作了六只 Westerhof 阻力器，參數如表 1 所示。
表1
Westerhof 阻力器參數表
Table1.
Parameters of Westerhof ’s resistor
將 Westerhof 阻力器毛細管數量的理論計算結果與實際的毛細管數量進行比較，驗證理論計算毛細管數量方法的有效性，結果如表 2 所示。1～6 號阻力器毛細管數量的理論計算都小于實際數量，相對實際誤差在—4.38% ～—5.59%，平均誤差為—5.035%，理論計算數量與實際數量較為接近；根據相對誤差公式，獲得 KN 值為 1.053。1～6 號阻力器經修正后的的計算值，與實際毛細管數量的相對誤差均小于±1%。
表2
Westerhof 阻力器毛細管數量誤差表
Table2.
Error analysis and correction of capillary number of Westerhof ’s resistor
在 Westerhof 阻力器阻值測試時，蠕動泵流量 Q 設定為 3 000、3 500、4 000 mL/min 三檔。測量 1～6 號 Westerhof 阻力器在每一檔流量下的壓強差ΔP，每一組采集 12 個數據，求出每組數據的均值，代入公式（1）計算實際液阻值。
實驗水溫 8℃，粘度系數為 1.386 0×10–3 Pa·s，毛細管數量 N 的校正系數 KN 為 1.053。將 1～6 號 Westerhof 阻力器的實測液阻值分別與理論計算值進行比較發現：實測值都比理論計算結果小，相對實測值的誤差范圍在 45.14%～67.64%，平均誤差為 54.27%。根據相對誤差公式，獲得修正系數 KR 值為 64.82% 來修正理論計算結果。用 1～6 號 Westerhof 阻力器驗證修正的有效性。結果如表 3 所示。從表 3中可以看出，校正后的液阻值與實際測量的液阻值誤差較小，相對實測值，最大誤差從未校正時的 67.64% 降到 8.7%。
表3
Westerhof 阻力器液阻值修正誤差分析結果
Table3.
Error analysis and correction of resistance of Westerhof ’s resistor
3 Westerhof 阻力器的模擬仿真軟件和驗證實驗
3.1 模擬仿真軟件
Westerhof 阻力器的模擬仿真軟件系統用 Visual Studio 2010 開發，如圖 4 所示，輸入參數：毛細管參數、套筒參數、液體黏度，以及根據之前的實驗得到的修正系數 KN 和 KR，結合 Westerhof 阻力器參數的理論計算方法，計算出阻力器的阻力值、毛細管數量和總長度。
圖4
模擬仿真軟件
Figure4.
Simulation software
3.2 驗證試驗
為了驗證模擬仿真軟件有效性，制作了 2 個不同規格的阻力器：驗證 1 號和驗證 2 號，如表 4 所示。獲得實測值的實驗過程（實驗條件、次數等）與 2.2 節所述相同；校正值用圖 4 的軟件計算獲得。結果顯示，實際毛細管數量和經過修正后的理論計算值誤差小于±1%；校正后的液阻值與實際液阻值誤差如表 5 所示，經過模擬仿真軟件的計算，校正后誤差比校正前誤差降低了一個數量級，提示仿真軟件可以實現對液阻值較為準確的預測。
表4
Westerhof 阻力器參數表
Table4.
Parameters of Westerhof ’s resistor
表5
Westerhof 阻力器液阻值修正誤差分析結果
Table5.
Error analysis and correction of resistance of Westerhof ’s resistor
4 結束語
本文在搭建的實測平臺上對樣本進行測試，對理論計算結果進行修正。從結果來看，修正后的阻力器液阻值與實際測量的液阻值之間的誤差大大減小，所以 Westerhof 阻力器的修正系統是有效的。
仿真軟件可以較為準確地預測毛細管數量、總長度、液阻值，在預期的液阻值與實際的液阻值不吻合時，反復改變參數，直到仿真軟件計算出預期的液阻值，降低和簡化了設計阻力器的難度和復雜度，使得 Westerhof 阻力器制作更為精準，為各種循環模擬系統的構建提供了支持。
引言
在 20 世紀 60 年代到 20 世紀 70 年代之間，人體血液模擬循環系統（mock circulatory system，MCS）隨著全人工心臟的研究而發展起來。在人工心臟、人工心臟瓣膜等心血管假體投入臨床應用之前，需要進行大量的體內和體外實驗[1-2]。體外實驗使用 MCS 進行測試實驗，體內實驗包括動物實驗和臨床試驗[3-4]。先進行體外實驗是必不可少的[5]，除了倫理學的原因之外，MCS 可以控制并提供多種實驗條件，節省財力物力人力，具有簡單可重復的特點，是進行體內實驗的前提[6-7]。除上述用途外，MCS 還經常被用于研究心血管動力學問題[8]。
MCS 的目標是重現心血管血流動力學的特性。MCS 由很多部件組成，不同的部件具有不同的功能。由于血液有黏性，在血管中流動時，將會受到一定的阻力。在體循環中，阻力主要來自于小動脈和毛細血管。通常稱血液在小動脈與毛細血管中流動所遇到的阻力為外周阻力，并且認為血液在小動脈與毛細血管中的流動是層流流動[9]。為了能夠有效地重現血液流動所受到的外周阻力并且產生層流流動，1971 年 Westerhof 阻力器被 Wes-terhof 等[10]第一次應用在 MCS 中。由于它可以將流體從湍流狀態調整至層流狀態[11]，因此被廣泛應用[12-14]。如圖 1 所示是 Westerhof 阻力器的其中一種制作方式，將一定數量的毛細管束在管套中[15-16]。在實際使用過程中，可在 Westerhof 阻力器前端添加可調閘閥式阻力器，既保證了對流型的改變，也使得外周阻力可調[17]。
圖1
Westerhof 阻力器
Figure1.
Westerhof ’s resistor
Westerhof 阻力器的參數最終決定了其性能。在采用理論計算時，得出的結果與實際的參數往往有比較大的誤差[10]。制作阻力器，需要事先確定組件尺寸。如果只用理論公式推算 Westerhof 阻力器的液阻值，那么精確度明顯達不到設計目標和性能要求。為了減少阻力器阻值的理論值與實際值之間的誤差，本文首先提出了毛細管數量的理論計算方法，搭建了阻力值實測平臺，并且為了覆蓋人體模擬循環裝置使用時的范圍要求，制作了多個不同規格的 Westerhof 阻力器樣本，得到補償系數，用來對理論計算值做出修正。在理論計算的基礎上，結合上述試驗的結果，文章開發了仿真模擬軟件，用來預測毛細管數量、總長度、液阻值等參數。
1 Westerhof 阻力器參數的理論計算方法
1.1 Westerhof 阻力器液阻的理論計算
Westerhof 用泊肅葉方程計算 Westerhof 的液阻值[10]，如公式（1）所示。
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在公式中，R 表示液阻值，ΔP 表示阻力器兩端的壓強差，Q 表示體積流量，ΔP/Q 可以得到實際液阻值。μ 表示管中液體的粘度系數，l 為管的長度，r 為毛細管的內徑，8 μl/π
用來計算理論液阻值。
所有的毛細管并行排列，相當于并聯，因此整體理論阻力值為[10, 15-16]：
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N 表示毛細管數量。由于制作阻力器的材料、構成方式、毛細管數量誤差、毛細管間隙以及毛細管直徑偏差等原因，根據 Westerhof 阻力器的毛細管內徑等參數進行理論計算得出的結果與實際的液阻值有比較大的誤差[10]，所以需要對計算出的阻力值進行修正，KR 表示修正系數，由 2.2 節樣本測試實驗獲得。
1.2 Westerhof 阻力器毛細管數量及用量計算
制作 Westerhof 阻力器時，當選定毛細管規格、阻力器（套筒）內徑后，需準備足夠長度的毛細管，但簡單的長度預估會造成備料不足或過量。本文根據毛細管在套筒中的排列形式，計算出毛細管數量及總長度，提高用料的使用效率和制作的成功率。
毛細管在圓筒里的排列方式有很多種，根據已制作的 Westerhof 阻力器內毛細管排列形式為參照，本文采用蜂窩狀排列，如圖 2 所示，推導出毛細管數量及總長度。
圖2
毛細管的排列方式
Figure2.
Arrangement of capillary
如圖 2 所示，毛細管沿外圓周向內擴展，設套筒內徑為 R，毛細管外徑為 r，則第一層毛細管數量 N1 的計算公式為：
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同理，繼續沿（R–2r）內側排列毛細管，則第二層毛細管數量 N2 的計算公式為：
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如此一層一層排列下去，最多緊密排列 n=R/2r 層，毛細管總數 N 的計算公式為：
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式中
表示向下取整。由于實際毛細管數量與理論推導之間有誤差，需要對結果進行修正，本文則根據實際毛細管數量對理論值進行修正，補償系數 KN 由 2.2 節樣本測試實驗獲得。
2 Westerhof 阻力器阻值測量平臺和樣本測試實驗
2.1 Westerhof 阻力器阻值測量平臺
在測量平臺上實測 Westerhof 阻力值，可比較與其理論計算結果的誤差，并作為模擬仿真軟件修正的參數。測試平臺由硬件（見圖 3）和軟件構成。為了得到實際阻力值，根據公式（1），需要獲得 Q 和 ΔP。如圖 3 中的實驗平臺示意圖所示，流量 Q 由蠕動泵設置輸出，精度±1%。壓差 ΔP 由 Westerhof 阻力器前后兩端壓力傳感器獲得。由于實驗需要定常流，用液容將蠕動泵泵出的液體進行濾波，液容可以模擬血管的順應性，將蠕動泵輸出的脈動流變成恒流再進入 Westerhof 阻力器，降低了阻力器測試端的壓力波動。壓力傳感器信號經放大后傳遞給 A/D 卡，計算機可顯示和存儲壓力值。
圖3
阻值測量實驗平臺
Figure3.
Experimental platform for measuring resistance
蠕動泵泵體型號：07551-20，泵頭型號：77202-60，泵管型號：L/S25，流速范圍 0～4 000 mL/min（雙泵頭、雙泵管情況下）。壓力傳感器型號：ZXP610 壓阻式傳感器，量程 10 kPa，標定后誤差為±0.1% F.S.。A/D 卡型號為 Advantech USB-4704（14 bit，48 kS/s）。計算機壓力測量軟件用 Visual Studio 2010 開發。
2.2 樣本測試實驗
在確定 Westerhof 阻力器樣本時需要考慮以下幾個方面：① 制作材料的限制（本次實驗使用的毛細管和套筒材料均為不銹鋼）：可獲得的毛細管內外徑種類。② Westerhof 阻力器使用方式：主要用于 MCS，其管徑和阻力值應當適應于模擬循環裝置的使用。比如，通常采用 Westerhof 阻力器加閘門式阻力器模擬外周阻力，保證主動脈中流動的層流特征和系統阻抗的相似性，使主動脈中的流量和壓力波形更接近生理狀態。③ 應覆蓋人體模擬循環裝置使用時的范圍要求：能適應主動脈、動脈分支對管徑和阻力的要求。根據以上要求，設計并制作了六只 Westerhof 阻力器，參數如表 1 所示。
表1
Westerhof 阻力器參數表
Table1.
Parameters of Westerhof ’s resistor
將 Westerhof 阻力器毛細管數量的理論計算結果與實際的毛細管數量進行比較，驗證理論計算毛細管數量方法的有效性，結果如表 2 所示。1～6 號阻力器毛細管數量的理論計算都小于實際數量，相對實際誤差在—4.38% ～—5.59%，平均誤差為—5.035%，理論計算數量與實際數量較為接近；根據相對誤差公式，獲得 KN 值為 1.053。1～6 號阻力器經修正后的的計算值，與實際毛細管數量的相對誤差均小于±1%。
表2
Westerhof 阻力器毛細管數量誤差表
Table2.
Error analysis and correction of capillary number of Westerhof ’s resistor
在 Westerhof 阻力器阻值測試時，蠕動泵流量 Q 設定為 3 000、3 500、4 000 mL/min 三檔。測量 1～6 號 Westerhof 阻力器在每一檔流量下的壓強差ΔP，每一組采集 12 個數據，求出每組數據的均值，代入公式（1）計算實際液阻值。
實驗水溫 8℃，粘度系數為 1.386 0×10–3 Pa·s，毛細管數量 N 的校正系數 KN 為 1.053。將 1～6 號 Westerhof 阻力器的實測液阻值分別與理論計算值進行比較發現：實測值都比理論計算結果小，相對實測值的誤差范圍在 45.14%～67.64%，平均誤差為 54.27%。根據相對誤差公式，獲得修正系數 KR 值為 64.82% 來修正理論計算結果。用 1～6 號 Westerhof 阻力器驗證修正的有效性。結果如表 3 所示。從表 3中可以看出，校正后的液阻值與實際測量的液阻值誤差較小，相對實測值，最大誤差從未校正時的 67.64% 降到 8.7%。
表3
Westerhof 阻力器液阻值修正誤差分析結果
Table3.
Error analysis and correction of resistance of Westerhof ’s resistor
3 Westerhof 阻力器的模擬仿真軟件和驗證實驗
3.1 模擬仿真軟件
Westerhof 阻力器的模擬仿真軟件系統用 Visual Studio 2010 開發，如圖 4 所示，輸入參數：毛細管參數、套筒參數、液體黏度，以及根據之前的實驗得到的修正系數 KN 和 KR，結合 Westerhof 阻力器參數的理論計算方法，計算出阻力器的阻力值、毛細管數量和總長度。
圖4
模擬仿真軟件
Figure4.
Simulation software
3.2 驗證試驗
為了驗證模擬仿真軟件有效性，制作了 2 個不同規格的阻力器：驗證 1 號和驗證 2 號，如表 4 所示。獲得實測值的實驗過程（實驗條件、次數等）與 2.2 節所述相同；校正值用圖 4 的軟件計算獲得。結果顯示，實際毛細管數量和經過修正后的理論計算值誤差小于±1%；校正后的液阻值與實際液阻值誤差如表 5 所示，經過模擬仿真軟件的計算，校正后誤差比校正前誤差降低了一個數量級，提示仿真軟件可以實現對液阻值較為準確的預測。
表4
Westerhof 阻力器參數表
Table4.
Parameters of Westerhof ’s resistor
表5
Westerhof 阻力器液阻值修正誤差分析結果
Table5.
Error analysis and correction of resistance of Westerhof ’s resistor
4 結束語
本文在搭建的實測平臺上對樣本進行測試，對理論計算結果進行修正。從結果來看，修正后的阻力器液阻值與實際測量的液阻值之間的誤差大大減小，所以 Westerhof 阻力器的修正系統是有效的。
仿真軟件可以較為準確地預測毛細管數量、總長度、液阻值，在預期的液阻值與實際的液阻值不吻合時，反復改變參數，直到仿真軟件計算出預期的液阻值，降低和簡化了設計阻力器的難度和復雜度，使得 Westerhof 阻力器制作更為精準，為各種循環模擬系統的構建提供了支持。
